지오지브라문서
2017.04.08 21:59

구르는 곡선의 자취 연재(1) 사이클로이드

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1. 사이클로이드

 

사이클로이드 곡선은 적당한 반지름을 갖는 원 위에 한 점을 찍고, 그 원을 한 직선 위에서 굴렸을 때 점이 그리며 나아가는 곡선이다. 이 곡선은 수학과 물리학에 있어서 매우 중요하며 초기 미분적분학의 개발에 크게 도움을 준 곡선이다. 특히, 갈릴레오는 맨 처음 이 곡선의 중요성을 이야기하면서 다리의 아치를 이 곡선을 이용하여 만들 것을 추천하기도 했다.

사이클로이드 이미지 1

 

사과는 그리스신화 속에서도 등장하는데, 그 중 가장 비극적인 사과는 트로이전쟁을 일으키게 되는 일명 ‘불화의 사과’이다. 그리고 이 ‘불화의 사과’는 수학에도 등장한다.

 

(1) 불화의 사과라는 말의 유래

 

바다의 여신인 테티스와 인간인 펠레우스의 결혼식에 올림포스의 모든 신들이 초대되었다. 그런데, 그 중에서 딱 한 신만이 초대받지 못했다. 바로 불화의 여신 에리스였다. 사실 누가 결혼식에 불화의 여신을 초대하고 싶겠는가? 어째든 무시당한 것으로 생각한 불화의 여신은 결혼 선물을 들고 화가 난 얼굴로 결혼식에 나타났다. 여기저기 둘러보던 에리스의 눈길이 올림포스 최고의 세 여신인 헤라, 아테나 그리고 아프로디테에게 멎었다.

그들은 나란히 서서 한참 재미있게 이야기를 나누고 있었는데, 에리스는 그들 곁으로 슬그머니 다가가 가져온 선물을 슬쩍 놓고 그곳을 떠났다. 그것은 아름답게 빛나는 황금사과였는데, 순간 식장은 찬물을 끼얹은 듯 조용해졌다. 모두 에리스가 다녀간 것을 알았고 무언가 흉측한 일이 벌어질 거라는 걸 짐작했기 때문이다. 그 황금사과에는 이렇게 쓰여 있었다. “가장 아름다운 여신에게”.

세 여신들은 한결같이 자신이 가장 아름다운 여신이라고 주장했다. 그래서 우여곡절 끝에 과연 누가 가장 아름다운 여신인가에 대한 결정을 트로이의 왕자인 파리스가 맡게 되었다. 헤라는 그에게 최고의 권력을 약속했고, 아테나는 뛰어난 지략과 강한 군사력을 주겠다고 했다. 마지막으로 아프로디테는 지상에서 가장 아름다운 여인을 주겠다고 했다. 이 사과를 어느 여신에게 주던지 골칫거리일 뿐이라는 것을 그는 알고 있었다. 그가 누구를 선택하든 한 명의 지지자와 두 명의 원수를 갖게 될 것이 뻔했기 때문이다. 결국 고민하던 파리스는 아름다운 여인을 아내로 얻기로 하고 사과를 아프로디테에게 주었다. 아프로디테는 이미 다른 사람의 아내가 되어있던 지상에서 가장 아름다운 여인인 헬레네를 파리스의 아내로 정했고, 이 일로 결국 전쟁이 시작되었다. 이로써 불화의 여신이 주고 간 황금 사과의 위력이 발휘된 것이다.

 

(2) 사이클로이드는 수학계에서 '불화의 사과' 였다.

사이클로이드는 파스칼에 의해 많은 연구결과물을 얻게 된다.

사이클로이드라는 이름이 등장하는 책 중 하나는 1501년에 출판된 찰스 보벨리(Charles Bouvelles)의 책이지만 갈릴레오, 파스칼, 토리첼리, 데카르트, 페르마, 월리스, 호이겐스, 요한 베르누이, 뉴턴, 라이프니츠와 같은 뛰어난 수학자들이 사이클로이드에 대하여 연구하기 시작한 것은 17세기에 들어서면서부터이다. 당시 수학자들은 힘과 운동을 수학적으로 설명하려는 시도를 많이 했기 때문에 사이클로이드는 수학자들의 관심의 대상이었다. 그리고 그 시대에 이루어진 많은 발견들에 관해 누가 무엇을 처음 발견했는가 하는 논쟁과 표절을 둘러싼 비난 그리고 상대의 공적을 깎아 내리는 일까지 빈번히 생겼다. 그래서 사이클로이드에는 ‘불화의 사과’라는 별명이 붙게 되었다.

이 문제에 심취했던 파스칼은 1658년 치통으로 고생하던 중에 기하학적인 착상이 떠오르고, 그 때 마침 치통이 사라져 신의 계시라고 여기고 8일 동안의 연구로 ‘사이클로이드(Cycloid) 곡선’에 대한 완벽한 결과를 발표하였다. 그리고 이것은 파스칼에게 있어서 마지막 수학적 문제였다.

 

(3) 사이클로이드의 가장 주요한 성질

사이클로이드를 거꾸로 한 형태의 그릇을 만들고 그 벽에 구슬을 놓으면 위치와 상관없이 바닥에 닿는 데 걸리는 시간이 같다는 것이다.

증명은 아래 주소를 통해서 확인하면 된다.

http://mathworld.wolfram.com/TautochroneProblem.html

다행히 번역된 주소가 있었다.

http://wiessen.tistory.com/62 나에겐 너무 고마운 분이다.

 

원리만 알아보도록 하자.

캡처.PNG

위의 그림을 보면 네 군데 표시를 해두었다.

원은 등속도로 굴러가고 있다.

이때, 원의 운동을 4등분 하여 관찰한 지점이 위에 표시해둔 점이다.

그림에서처럼 처음지점에서 두번째 지점까지의 거리는 두번째에서 세번째로 이동할때보다 훨씬 짧다.

즉 속도=거리/시간  이므로,

첫번째 속도보다 두번째 속도가 빠르다는 것을 알 수 있다.

 

 

(4) 기차 패러독스

사이클로이드 이미지 3

위 그림에서 직선은 기차 선로이고, 사이클로이드 곡선을 그리는 바퀴는 선로위에 놓여있는 바퀴이다.

그림처럼 큰바퀴는 기차가 달리는 방향과 같은방향을 달리다가 반대방향으로 움직이기도 하면서 달리고 있다.

이것이 기차 패러독스이다.

 

 

(5) 사이클로이드의 다른 이름  '최단 강하선'

사이클로이드는 경사면을 가장 빠른 속도를 내는 성질을 가지고 있다. 그래서 최단 강하선이라고도 한다.

우리나라에서 보기쉬운 대표적인 예가 기왓장이다.

동물에서도 찾을 수 있는 데,

독수리가 토끼를 사냥하러 하늘에서 내려올때 그리는 곡선이 사이클로이드이다.

 

 

(6) 지오지브라에서 사이클로이드 작도하는 순서

 

  1) 몇 바퀴 굴러갈지 설정하기 : 슬라이더 n

       - n을 정수로 1에서 5 증가는 1로 설정해줍니다.

 

  2) 반지름 r : 슬라이더

       - 정수로 원의 반지름 범위를 설정해줍니다.

 

  3) alpha : 각도 슬라이더 만들기

     

     최솟값을 0, 최댓값을 360*n 으로 증가는 1로 설정합니다.

     이때, 알파는 각이아니라 정수입니다.

 

   4) θ : 알파를 호도법으로 바꿔주기

      입력창에  θ = α/180 π 입력

 

   5) 입력창에 y=0 과 (0,0) 입력해주고, 점의 이름은 숨겨줍니다.(점에서 우클릭) 

 

  6) 입력창에 원의 중심을 입력해야 겠죠.

      C = ( r θ, r) 이라고 입력하면 원의 중심 C가 나타납니다.

 

  7) C가 중심이고 반지름 r인 원을 작도합니다.

         

 

   8) 교점 도구를 이용해서 직선과 원의 교점을 찍어주세요.

   

 

  

 

   9) 이제 B점을 원이 굴러간 만큼 회전시킬거에요.

       회전이라는 명령어를 사용하면 됩니다.

       회전[누구를 회전할래?, 몇도로, 누구를 중심으로] 입니다.

       회전[B, -θ, C]

      TIP!  이때, 입력창에 회전[B, -θ, C]라고 치기보다는 P=회전[B, -θ, C]라고 입력하시면 점의 문자가 지정됩니다.

 

  이제 완성은 됐습니다. 다만, 굴러가는것처럼 보이고, 자취가 남으면 좋겠죠.

  디자인 과정이 남았습니다.

  저는 이 부분을 엄청 못하는데요.

 

    중심각이 나타나도록 해보겠습니다.

  10)  원의 중심과 P를 선분으로 연결해줍니다.

         또, C와 B도 선분으로 연결해줍니다.

 

   11)  β = 각[B, C, P], 각[P, C, B] 두가지를 입력창에 입력해보시고 엔터는 치지 마세요.

        차이가 있죠.

         각[P, C, B] 로 해야 우리가 원하는 각으로 표현됩니다.

 

 

 

    12) 이제 마지막입니다.

          곡선[r (t - sin(t)), r (1 - cos(t)), t, 0, θ] 라고 입력해 줍니다.

          즉, 사이클로이드 매개변수식 r(t-sin(t)), r(1-cos(t)) 를 그리라는 명령인데요.

          곡선[ x(t), y(t), 매개문자, 범위의 시작값, 범위의 끝값] 입니다.

 

    이제 그려진것을 확인해볼까요?

 

  ctrl을 누른채로 마우스 왼쪽 버튼을 누르면 화면위치 조정할 수 있습니다.

  마우스 휠을 위아래로 조정화면 배율이 조정됩니다.

 

부디 성공하셨길 바랍니다.

 

이제 필요없는 선분은 감추시고,

α 에 애니메이션 주시면 굴러갑니다.

 

그리고 색깔 넣고 싶은 부분에서 우클릭으로 설정에 들어가서 조정하시면 되겠습니다.

 

제가 만든 완성작을 동봉합니다. ^0^

오늘도 화이팅.

다음호에 카디오이드, 에피사이클로이드, 하이포 사이클로이드 등으로 연재할 예정입니다.

 

Honeycam 2017-04-08 23-17-39.gif

 

 

 

 


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