중등 페르마점(Fermat point)

admin 2017.05.06 11:35 조회 수 : 1442

  1. 삼각형ABC의 바깥쪽으로 세 정삼각형 PAB, QBC, RAC의 각 외접원은 한 점에서 만난다.

    {증명}

△PAB, AQBC의 외 접 원의 교점 O 에 대하여
각AOB = 180° - 각P
각 AOC = 180° - 각R

각P + 각Q + 각R = 180° 이므로

각BOC = 360 ° -(180°-각P )-(180° - 각R)

             = 각P + 각Q = 180° - 각Q

 

따라서 O는 삼각형QBC의 외접 원 위에 있다.

따라서 △PAB, △QBC, △RAC의 3개의 각 외접원은 한 점에서 만난다.

△PAB, △RAC, △QBC가 정삼각형이 아니라도 각P+각Q+각R = 180° 라는 조건이 주어지면

항상 이 정리는 성립한다.

 

2. 이때, 세 외접원이 만나는 한 점이 페르마 점(Fermat point)이다.

 

 

3. 세 선분 BR, CP, AQ는 한 점에서 만나며, 만나는 한 점이 페르마점이다.

[증명] BR과 CP가 만나는 점 O에 대하여, A, O, Q가 일직선이 됨을 보이자.

각BOQ 와 각BCQ 는 호 에 대한 같은 원주각이므로 각BOQ = 각BCQ =60° 이다.

각BOA + 각BOQ = 120° + 각BCQ = 180°

따라서, 점 A, O, Q는 일직선상에 있다.

 

 

4. 페르마점 O에 대하여, OA + OB = OP,

선분OA = 1/2(OP + OR - OQ) 가 성립한다.

 

톨레미의 정리에 의하여

OA • PB + PA • OB = OP • AB

△APB는 정삼각형이므로 선분 PA, PB, AB의 길이는 같다.

따라서 OA + OB = OP

같은 방식으로,

OB+OC = OQ

OC+OA = OR

따라서,

2(OA+OB+OC) = OP+OQ+OR

따라서,

OA = 1/2(OP+OR-OQ)

OB = 1/2(OP+OQ-OR)

OC = 1/2(OQ+OR-OP)

임을 알 수 있다.

 

 

 

 

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